Perbandingan Operasi Eliminasi Gauss, Gauss Jordan, Sarrus, dan Cramer

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah

Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
Baris nol terletak paling bawah
1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
Dibawah 1 utama harus nol

Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks

A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Contoh Soal Untuk Gauss dan Gauss jordan

Cari Nilai X1,X2,X3 pada persamaan dibawah ini menggunakan eliminasi gauss dan eliminasi gauss jordan

2X1 + X2 + 4X3 = 8

3X1 + 2X2 + X3 = 10

X1 + 3X2 + 3X3 = 8

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss :

Langkah terakhir adalah substitusikan balik dari bawah jadi

X3 = 0.538

X2 - 0.25(X3) = 1.25

X2 = 1.25 + 0.25(0.538)

X2 = 1.384

X1 - 2X2 + X3 = 0

X1 = 2X2 - X3

X1 = 2(1.384) - 0.538

X1 = 2.23

Jadi X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Jordan :

Sebenarnya hanya tinggal melanjutkan dari langkah eliminasi gauss seperti di tambahkan langkah 8 sampai langkah 10, tapi saya mengulanginya kembali dari awal.

Jadi Isinya sama seperti pada Eliminasi Gauss X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538

Eliminasi Sarrus

Untuk menghitung determinan suatu matriks dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya yaitu menggunakan Metode Kofaktor. Selain metode itu, pada kesempatan ini akan dikenalkan Metode Sarrus. Apa itu metode sarrus ? Metode ini sebenarnya sudah dikenalkan sejak duduk di bangku SMA, tapi mungkin dikenalkan nama metodenya (beberapa sekolah ada yang sudah mengenalkan). Misal diberikan matriks $A$ yang berukuran $3 \times 3$ yaitu $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ , maka dengan metode sarrus yaitu

Diperoleh $det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}- a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}- a_{12}a_{21}a_{33}$ . Kenapa bisa diperoleh rumus tersebut ?
Perhatikan Metode Kofaktor pada tulisan sebelumnya, jika diterapkan metode kofaktor tersebut pada matriks $3 \times 3$ , diperoleh

Minor entri $a_{11}$ yaitu $M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}$ .

Minor entri $a_{12}$ yaitu $M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}$ .

Minor entri $a_{13}$ yaitu $M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}$ .

Kofaktor $a_{11}$ yaitu $C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}$ .

Kofaktor $a_{12}$ yaitu $C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33}$ .

Kofaktor $a_{13}$ yaitu $C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}$ .

Sehingga diperoleh,

$det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}$

$= a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) + a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

$= a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$ .

Jadi, metode sarrus merupakan kasus khusus dari metode kofaktor, yaitu pada matriks berukuran $3 \times 3$ .

Contoh 1.

Hitung determinan matriks $A = \begin{bmatrix} 3&0&-2\\ 1&6&4\\ 5&-3&1 \end{bmatrix}$ menggunakan metode sarrus.

$det(A) = 3 \cdot 6 \cdot 1 + 0 \cdot 4 \cdot 5 + (-2) \cdot 1 \cdot -3- 5 \cdot 6 \cdot -2- (-3) \cdot 4 \cdot 3- 0 \cdot 1 \cdot 1$

$= 18+0+6+60+36-0$

$= 120$ .

Contoh 2.

Hitung determinan matriks $B = \begin{bmatrix} 2&1&0\\ -1&0&2\\ 4&-2&7 \end{bmatrix}$ menggunakan metode sarrus.

$det(A) = 2 \cdot 0 \cdot 7 + 1 \cdot 2 \cdot 4 + 0 \cdot -1 \cdot -2- 0 \cdot 0 \cdot 4-2 \cdot 2 \cdot -2- 1 \cdot -1 \cdot 7$

$= 0+8+0-0+4+7$

$= 19$

Eliminasi Cramer

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah: