Minggu, 08 April 2018

Perbandingan Operasi Eliminasi Gauss, Gauss Jordan, Sarrus, dan Cramer

Komentar



Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah 
  1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
  2. Baris nol terletak paling bawah 
  3. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
  4. Dibawah 1 utama harus nol

Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.
Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah
1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks
   A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Contoh Soal Untuk Gauss dan Gauss jordan

Cari Nilai X1,X2,X3 pada persamaan dibawah ini menggunakan eliminasi gauss dan eliminasi gauss jordan
2X1 + X2 + 4X3 = 8
3X1 + 2X2 + X3 = 10
X1 + 3X2 + 3X3 = 8

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss :


Langkah terakhir adalah substitusikan balik dari bawah jadi 
X3 = 0.538
X2 - 0.25(X3) = 1.25
X2 = 1.25 + 0.25(0.538)
X2 = 1.384
X1 - 2X2 + X3 = 0
X1 = 2X2 - X3
X1 = 2(1.384) - 0.538 
X1 = 2.23
Jadi X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Jordan : 

Sebenarnya hanya tinggal melanjutkan dari langkah eliminasi gauss seperti di tambahkan langkah 8 sampai langkah 10, tapi saya mengulanginya kembali dari awal.



Jadi Isinya sama seperti pada Eliminasi Gauss X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538



Eliminasi Sarrus

Untuk menghitung determinan suatu matriks dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya yaitu menggunakan Metode Kofaktor. Selain metode itu, pada kesempatan ini akan dikenalkan Metode Sarrus. Apa itu metode sarrus ? Metode ini sebenarnya sudah dikenalkan sejak duduk di bangku SMA, tapi mungkin dikenalkan nama metodenya (beberapa sekolah ada yang sudah mengenalkan). Misal diberikan matriks A yang berukuran 3 \times 3 yaitu \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}, maka dengan metode sarrus yaitu


matriks_sarrusDiperolehdet(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}- a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}- a_{12}a_{21}a_{33}. Kenapa bisa diperoleh rumus tersebut ?
Perhatikan Metode Kofaktor pada tulisan sebelumnya, jika diterapkan metode kofaktor tersebut pada matriks 3 \times 3, diperoleh
Minor entri a_{11} yaitu M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}.
Minor entri a_{12} yaitu M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}.
Minor entri a_{13} yaitu M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}.
Kofaktor a_{11} yaitu C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}.
Kofaktor a_{12} yaitu C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33}.
Kofaktor a_{13} yaitu C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}.
Sehingga diperoleh,
det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}
= a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) + a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})
= a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}.
Jadi, metode sarrus merupakan kasus khusus dari metode kofaktor, yaitu pada matriks berukuran 3 \times 3.
Contoh 1.
Hitung determinan matriks A = \begin{bmatrix} 3&0&-2\\ 1&6&4\\ 5&-3&1 \end{bmatrix} menggunakan metode sarrus.
det(A) = 3 \cdot 6 \cdot 1 + 0 \cdot 4 \cdot 5 + (-2) \cdot 1 \cdot -3- 5 \cdot 6 \cdot -2- (-3) \cdot 4 \cdot 3- 0 \cdot 1 \cdot 1
= 18+0+6+60+36-0
= 120.
Contoh 2.
Hitung determinan matriks B = \begin{bmatrix} 2&1&0\\ -1&0&2\\ 4&-2&7 \end{bmatrix} menggunakan metode sarrus.
det(A) = 2 \cdot 0 \cdot 7 + 1 \cdot 2 \cdot 4 + 0 \cdot -1 \cdot -2- 0 \cdot 0 \cdot 4-2 \cdot 2 \cdot -2- 1 \cdot -1 \cdot 7
= 0+8+0-0+4+7
= 19

Eliminasi Cramer



Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah:



dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer.

x1 + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 – 2x2 + 3x3 = 8

ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriks

Karena bilangan takdiketahui atau solusinya ada 3, berarti kita bentuk matriks A1, A2 dan A3. Dengan matriks A1 dibentuk dari matriks A dengan mengganti entri-entri kolom pertama pada matriks A dengan nilai-nilai pada sebelah kanan sama dengan ( = ) di persamaan diatas yaitu:

Kemudian untuk membentuk matriks A2, kita mengganti entri-entri kolom kedua matriks A dengan

begitu juga untuk membentuk matriks A3 yaitu mengganti entri-entri pada kolom ketiga. Sehingga diperoleh A1, A2 dan A3 seperti dibawah ini;

Untuk menghitung determinan pada matriks A, A1, A2 dan A3 dapat menggunakan Determinan Menggunakan Kofaktor.


Berdasarkan Teorema diatas, maka diperoleh :















Baca selengkapnya

Tugas Mandiri Algoritma

Komentar
Definisi Algoritma
Apa itu algoritma? Algoritma adalah suatu susunan langkah-langkah proses yang disusun secara sistematis untuk menyelesaikan suatu masalah. Langkah-langkah tersebut harus logis dan dapat ditentukan salah atau benarnya agar dapat melanjutkan atau menghasilkan proses dari masalah yang di kerjakan.
Artinya, algoritma akan mengeluarkan hasil (output) sesuai dengan yang dikehendaki berdasarkan sejumlah input yang dimasukkan dengan melalui proses yang sudah tersusunan dengan benar dan sistematis. Tidak peduli sesingkat atau sebagus apapun suatu algoritma, jika memberikan output yang salah. Maka dapat dikatakan algoritma tersebut tidaklah baik.
Selain itu algoritma juga harus memiliki efisiensi. Efisiensi algoritma dapat ditinjau dari 2 hal, yaitu waktu dan memori. Jika suatu algoritma dapat memberikan output dengan benar namun proses nya sangat memakan waktu karena susunannya terlalu kompleks sehingga dapat menghasilkan output sampai berjam-jam maka algoritma tersebut dipastikan tidak akan dipakai untuk memecahkan suatu masalah.
Begitu juga dengan memori, semakin besar memori yang digunakan untuk menghasilkan output yang dikehendaki maka algoritma tersebut dapat dikatakan tidak baik atau tidak efisien. Karena dalam kenyataannya setiap orang dapat membuat algoritma berbeda dengan hasil (output) yang sama. Maka buat atau carilah algoritma yang paling efisien.

Menilai Sebuah Algoritma
         Ketika kita sebagai manusia berusaha memecahkan suatu masalah, metode tekhnik dan pemikiran suatu algoritma atau proses untuk memecahkan masalah tersebut pasti memiliki perbedaan satu dengan lainnya, walaupun hasil yang dikeluarkan sama atau identik namun tidak dengan prosesnya. Bahkan terkadang susunan langkah dan outputnya identik secara kasat mata, namun pasti memiliki perbedaan ketika algoritma tersebut diaplikasikan ke dalam suatu bahasa pemrograman.

Untuk menilai mana algoritma yang baik atau tidak dapat ditentukan dari beberapa kriteria algoritma itu sendiri.

Berikut kriteria Algoritma menurut Donald E. Knuth adalah :
1. Input: algoritma dapat memiliki nol atau lebih inputan dari luar.
2. Output: algoritma harus memiliki minimal satu buah output keluaran.
3. Definiteness (pasti): algoritma memiliki instruksi-instruksi yang jelas dan tidak ambigu.
4. Finiteness (ada batas): algoritma harus memiliki titik berhenti (stopping role).
5. Effectiveness (tepat dan efisien): algoritma sebisa mungkin harus dapat dilaksanakan dan efektif.

Penyajian Algoritma
         Salah satu cara penyajian algoritma yang akan saya bahas adalah penyajian algoritma dengan gambar yang biasa dikenal dengan flowchart.
Flowchart adalah adalah suatu bagan dengan simbol-simbol tertentu yang menggambarkan urutan proses secara mendetail dan hubungan antara suatu proses (instruksi) dengan proses lainnya dalam suatu program.

Disamping itu flowchart juga berguna sebagai fasilitas untuk komunikasi antara programmer yang bekerja sama dalam satu tim pada suatu proyek tertentu.
Dalam pembuatan flowchart Program tidak ada rumus atau patokan yang bersifat mutlak. Karena flowchart merupakan gambaran hasil pemikiran dalam menganalisis suatu masalah dengan komputer. Sehingga flowchart yang dihasilkan dapat bervariasi antara satu pemrogram dengan yang lainnya.

Namun secara garis besar setiap pengolahan selalu terdiri atas 3 bagian utama, yaitu :
1. Input,
2. Proses pengolahan dan
3. Output

Untuk pengolahan data dengan komputer, urutan dasar pemecahan suatu masalah:

1. START, berisi pernyataan untuk persiapan peralatan yang diperlukan sebelum menangani pemecahan persoalan.
2. READ, berisi pernyataan kegiatan untuk membaca data dari suatu peralatan input.
3. PROSES, berisi kegiatan yang berkaitan dengan pemecahan persoalan sesuai dengan data yang dibaca.
4. WRITE, berisi pernyataan untuk merekam hasil kegiatan ke peralatan output.
5. END, mengakhiri kegiatan pengolahan

Berikut adalah contoh simbol flowchart :


Untuk memahami lebih dalam mengenai flowchart ini, akan diambil sebuah kasus sederhana.
Contoh Kasus :
Kasus : Buatlah sebuah rancangan program dengan menggunakan flowchart, mencari luas persegi panjang.
Solusi : Perumusan untuk mencari luas persegi panjang adalah :
L = p . l
di mana, L adalah Luas persegi panjang, p adalah panjang persegi, dan l adalah lebar persegi.

Keterangan :
1. Simbol pertama menunjukkan dimulainya sebuah program.
2. Simbol kedua menunjukkan bahwa input data dari p dan l.
3. Data dari p dan l akan diproses pada simbol ketiga dengan menggunakan perumusan L = p. l.
4. Simbol keempat menunjukkan hasil output dari proses dari simbol ketiga.
5. Simbol kelima atau terakhir menunjukkan berakhirnya program dengan tanda End.


Source Code dan Run

package test1;
import java.util.Scanner;
/**
*
* @author asus
*/
public class Test1 {

/**
* @param args the command line arguments
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO code application logic here

Scanner input = new Scanner (System.in);

int panjang;
int lebar;
int luas;

System.out.print("Masukkan Panjang : ");
panjang=input.nextInt();//input panjangnya!

System.out.print("Masukkan Lebar : ");
lebar=input.nextInt();//input lebarnya!

//Rumus Luas
luas= panjang*lebar;

//Perintah untuk cetak hasil
System.out.println("Luasnya adalah : "+luas);
}
}


Ketika Di RUN :

Baca selengkapnya

Sabtu, 07 April 2018

Tugas Mandiri 2 - Perilaku Dalam Organisasi

Komentar



1. Jelaskan pengertian perilaku organisasi!
Ø  Bidang studi yang mempelajari dampak perorangan, kelompok, & struktur pada perilaku dalam organisasi, dengan tujuan mengaplikasikan pengetahuan tentang dampak tersebut untuk memperbaiki keefektifan organisasi.

Baca selengkapnya

Tugas Mandiri 1 - Perilaku Dalam Organisasi

Komentar

1. Jelaskan definisi manajemen!
Ø  Pengertian manajemen adalah sebuah proses yang dilakukan untuk mencapai sebuah tujuan suatu organisasi dengan cara bekerja dalam team.

Baca selengkapnya

Senin, 02 April 2018

Form Animasi Bola Sederhana VB.Net

Komentar



Pada form ini saya mencoba membuat bola seolah terlihat bergerak, polanya sangat sederhana, yaitu bergerak dari kiri menuju kanan. Syntax nya hanya mengatur tampilan bola agar bergerak satu persatu mengikuti pola nya sehingga terlihat seolah bergerak.
Berikut gambar pada saat form dijalankan :
Berikut adalah source codenya :


Public Class AnBol
Dim jalan As Boolean = False
Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles BtnStart.Click
Timer1.Enabled = True
jalan = Not jalan
Timer1.Enabled = jalan
If Timer1.Enabled = True Then
BtnStart.Text = "STOP"
Else
BtnStart.Text = "Start"
End If
End Sub

Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click
Me.Close()
FormMenu.Show()

End Sub

Private Sub Timer1_Tick(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Timer1.Tick
If PB1.Visible = True Then
PB1.Visible = False
PB2.Visible = True
PB3.Visible = False
PB4.Visible = False
PB5.Visible = False
ElseIf PB2.Visible = True Then
PB1.Visible = False
PB2.Visible = False
PB3.Visible = True
PB4.Visible = False
PB5.Visible = False
ElseIf PB3.Visible = True Then
PB1.Visible = False
PB2.Visible = False
PB3.Visible = False
PB4.Visible = True
PB5.Visible = False
ElseIf PB4.Visible = True Then
PB1.Visible = False
PB2.Visible = False
PB3.Visible = False
PB4.Visible = False
PB5.Visible = True
ElseIf PB5.Visible = True Then
PB1.Visible = True
PB2.Visible = False
PB3.Visible = False
PB4.Visible = False
PB5.Visible = False
End If
End Sub

Private Sub AnBol_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load
Timer1.Interval = 500
Timer1.Enabled = False
Me.BackColor = Color.White
BtnStart.Text = "Start"

PB1.Visible = True
PB2.Visible = False
PB3.Visible = False
PB4.Visible = False
PB5.Visible = False
End Sub
End Class
Baca selengkapnya
Langganan: Komentar (Atom)